Beispiele zu linearen Gleichungssystemen

  1. Löse, falls möglich, folgende Linearsysteme mit dem Gaußschen Verfahren:








    1. 1
      1
      0
      3
      2
      1
      -1
      1
      3
      -1
      -1
      2
      -1
      2
      3
      -1






      ·





      x1
      x2
      x3
      x4






        =  





      4
      1
      -3
      4













    2. 1
      -1
      2
      -1
      2
      -2
      3
      -3
      1
      1
      1
      0
      1
      -1
      4
      3






      ·





      x1
      x2
      x3
      x4






        =  





      -8
      -20
      -2
      4











    3. 1
      2
      3
      4
      5
      6
      7
      8
      9




      ·



      x1
      x2
      x3




        =  



      6
      15
      24





    Für welche Systeme ist das Gaußsche Eliminationsverfahren ohne Spaltenpivotsuche (ohne Zeilenvertauschungen) durchführbar? Welche Systeme sind eindeutig lösbar?

  2. Die Hilbertmatrix Hn = (hij) = ([ 1/(i+j-1)]) ist ein bekanntes Beispiel für eine schlecht konditionierte Matrix. Untersuche das Gleichungssystem H4 ·x = b mit bi = j=14 hij, bei dem die Eingangsdaten nur mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen vorliegen,






    1.0
    0.5
    0.3333
    0.25
    0.5
    0.3333
    0.25
    0.2
    0.3333
    0.25
    0.2
    0.1667
    0.25
    0.2
    0.1667
    0.1429






    ·





    x1
    x2
    x3
    x4






      =  





    2.0833
    1.2833
    0.95
    0.7595






      ,
    und vergleiche die numerische Lösung mit der exakten Lösung x = (1, , 1)T. Wie ändert sich die numerische Lösung, wenn die Eingangsdaten in double vorliegen? Was läßt sich in diesem Fall über die numerische Lösung von H20 ·x = b aussagen?
  3. Modifiziere das Programm lineq.c so, daß in der Matrix A eine LU-Zerlegung der ursprünglichen Koeffizientenmatrix zurückgegeben wird. Zeige, daß die Matrix A aus Beispiel 1(a) eine Dreieckszerlegung der Form A = L ·U besitzt mit
    L   =  





    1
    0
    0
    0
    2
    1
    0
    0
    3
    4
    1
    0
    -1
    -3
    0
    1






      ,        U   =  





    1
    1
    0
    3
    0
    -1
    -1
    -5
    0
    0
    3
    13
    0
    0
    0
    -13






      .
    Verwende diese Zerlegung von A, um das Gleichungssystem A ·xj  = bj für mehrere rechte Seiten bj zu lösen. Beispiel: Für die Einheitsvektoren als rechte Seiten,
    b1   =  





    1
    0
    0
    0






    ,   b2   =  





    0
    1
    0
    0






    ,   b3   =  





    0
    0
    1
    0






    ,   b4   =  





    0
    0
    0
    1






    ,  
    erhält man mit den Lösungsvektoren xj die Spaltenvektoren der Inversen von A, d.h.  A-1 = (x1, , x4).



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On 25 May 2002, 19:33.