Beispiele zur Monte Carlo-Simulation


  1. Es sei z=x+y die Summe zweier statistisch unabhängiger, auf dem Intervall [0,1) gleichverteilter Zufallsvariablen. Erzeuge eine Stichprobe {z1,z2,,zn} und berechne Stichprobenmittelwert, Varianz sowie ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsdichte von z.
  2. Symmetrische Irrfahrt (Random Walk) in einer Dimension: Ein Random Walker startet bei x0=0 und führt n Schritte der Länge Dx=xi+1-xi=1 aus. Bei jedem Schritt sei die Wahrscheinlichkeit, nach links oder rechts zu gehen, jeweils 1/2. Führe eine größere Anzahl von Random Walks durch und bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung, daß nach Ende der Irrfahrt der Random Walk genau bei xn=0,1,2,,n endet. Bestimme auch den im quadratischen Mittel zurückgelegten Weg xn2.
  3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Poisson-verteilte Zufallsvariable x
    P(x=k) = Pl(k) = lk

    k!
     e-l
    erfüllt die Beziehung
    Pl(k+1) = l

    k+1
     Pl(k),       k=0,1,2,
    Um nach der inversen Transformationsmethode eine Stichprobe aus dieser Verteilung zu erzeugen, kann man daher so vorgehen, daß man eine im Intervall [0,1) gleichverteilte Zufallszahl x würfelt und dann, beginnend mit Pl(0)=e-l, die obige Rekursion so lange iteriert, bis
    Pl(k-1) x < Pl(k)
    gilt, und schließlich x=k setzt. [Ist schon x < Pl(0), so wird x=0 gesetzt.]
    Erzeuge nach dieser Methode für den Fall l = 10 eine hinreichend große Stichprobe und berechne daraus, Mittelwert, Varianz und ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
  4. Benütze die Transformationsmethode, um eine Stichprobe aus der Cauchy-Verteilung
    f(x) = 1

    p
      1

    1+x2
           - < x <
    zu erzeugen. Überprüfe die Implementation durch Vergleich des aus der Stichprobe gewonnenen Histogramms mit der vorgegebenen Verteilung.
  5. Es sei die (unnormierte) Wahrscheinlichkeitsdichte
    f(x) = x(1-x)
    auf dem Intervall [0,1] gegeben. Um nach der Rejection-Methode eine Stichprobe aus dieser Verteilung zu erzeugen, sucht man eine obere Schranke A, für die gilt f(x) A (hier also z.B. A=1/4). Man würfelt nun Punktepaare (x,y) mit x=x und y=Ah (wo x und h unabhängige gleichverteile Zufallsvariablen aus [0,1) sind) und verwirft alle Punkte, für die y > f(x) ist. Die x-Koordinaten der verbleibenden Punktepaare bilden eine Stichprobe aus f(x). Warum?
    Erzeuge eine hinreichend große Stichprobe und verifziere an Hand des Histogramms die Korrektheit der Methode.
  6. Welche Transformation führt eine auf dem Intervall [0,1) gleichverteilte Zufallsvariable t in eine Zufallsvariable x auf dem Intervall [-1,1) über, deren Wahrscheinlichkeitsdichte durch
    f(x) = 1

    p
      1




    1-x2
    gegeben ist?
    Benütze diese Transformation, um eines oder mehrere der Integrale
    Ik =
    1

    -1 
    dx  Tk2(x)




    1-x2
    nach dem Muster

    dx f(xg(x) 1

    n
      n

    i=1 
     g(xi)
    mit Hilfe von Monte Carlo-Integration numerisch zu berechnen. Dabei sollen die xi eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) bilden, während die übrigen Anteile des Integranden von Ik als zu mittelnde Funktion g(x) interpretiert werden.
    Diese Integrale treten als Normierungsfaktoren der Tschebyscheff-Polynome
    T0(x)
    =
    1
    T1(x)
    =
    x
    T2(x)
    =
    2x2-1
    T3(x)
    =
    4x3-3x
    T4(x)
    =
    8x4-8x2+1
    :
    auf und haben die exakten Werte
    Ik =



    p
       für   
    k=0
    p

    2
       für   
    k=1,2,3,



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On 25 Jun 2008, 12:45.